Zitat von TooMuch
Vielleicht kennt sich ja jemand aus.
Berufsbedingt ja.
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Aber ihr wisst ja was man alles so in Foren findet.
Und warum fragst Du dan hier? 
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1000 Meinungen bei ein und dem Gleichen Problem.
Ohne die Wohnung gesehen zu haben und evtl. eine Luftfeuchtemessung, Feuchtigkeitsmessungen an den Wänden und Temparaturabfallmessungen an den Fenster gemacht zu haben, wird eine definitive Aussage auch schwierig.
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Das Informativste war eine Broschüre einer Baufirma...!
Klar, die wollen entweder neue Aufträge oder sich vor Regressen schützen. 
Also, ohne das ganze näher in Augenschein genommen zu haben, ein paar Allgemeine Sachen zu dem Problem:
1. Woher kommt Schimmel eigentlich? Schimmel an Fensterrahmen, Wänden und Decken entsteht in der Regel durch zu hohen Feutigkeitsgehalt auf Dauer. In den letzten Jahren sehr verbreitet, durch Tauwasserausfall bei schlecht gedämmten Konstruktionen (Wärmebrücken) oder durch falsche Lüftung in fast luftdichten Konstruktionen oder durch Leckagen in der Luftdichtheitsschicht.
Also was wichtig ist: Schimmel ist da, wo es längerfristig feucht ist.
2. Viele Kellerwohnungen sind an sich feucht (weil sie eigentlich niemals zu Wohnzwecken gebaut wurden)
3. Kellerwohnungen neigen dazu im Sommer(!) sich mit Feuchtigkeit regelrecht aufzuladen.
Warum ist das so?
Wie Martin schon beschrieb, kann warme Luft mehr Feuchtigkeit aufnehmen als kalte Luft. Im Sommer ist die Innentemparatur durch das schützende Erdreich wesentlich geringer als die Außentemperatur. Da aber Sommer ist, stehen Fenster/Türen viel mehr auf, weil es je nach Typ der Wohnung, gegenüber der Außentemperatur, im Inneren regelrecht kalt ist.
Nun passiert genau das Gegenteil, was man eigentlich mit der Lüftung erreichen will: Warme, mit Feuchtigkeit angereicherte Luft strömt von außen nach innen und kondensiert dort an den viel kälteren Wänden, Decken, etc.
Das ganze nennt man Tauwasserausfall. Alle Einrichtungsgegenstände "saugen" sich dann regelrecht voll und speichern auch einen großen Teil davon.
Wenn die Kellerwohnung zu Wohnzwecken innerhalb der letzten 8 Jahre gebaut worden ist, sollte dieses Problem nicht in diesem Maße auftreten. Denn dann wären Decken, Böden und Wände entsprechend gedämmt und der Tauwasserausfall wäre nicht so groß.
4. Einfachverglasung, bzw. dünne Kellerfenster:
Die gehören zum einen aus Energiespargründen nicht in einen beheizten Wohnraum und zum anderen entstehen dann genau die Probleme die Du schilderst. Innen ist Warme, mit Feuchtigkeit angereicherte Luft, die an die Fensterrahmen/Scheiben stößt und dort kondensiert, sprich Du hast dort eben einen Tauwasserausfall. Wäre das Fenster und der Fensterrahmen entsprechend gedämmt, wäre dort kein oder sehr geringer Tauwasserausfall und damit auch kein Nährstoff für de Schimmelpilze.
5. Die Allgemeinempfehlung die ich immer gebe: LÜFTEN!
Lüften, lüften und nochmals lüften. In der kalten Jahreseit muß die warme mit Feuchtigkeit angereicherte Luft regelmäßig "ausgetauscht" werden, damit die Feuchtigkeit abtransportiert wird. 3-5 Minuten zweimal am Tag reichen in der Regel nicht.
Mindestens 2-3x am Tag und dann, wichtig, Stoßlüften... soll heißen mehrere Fenster auf, damit Durchzug ist. Desto höher ist die Luftwechselrate.
Und bitte keine Kipplüftung. Kipplüftung ist eigentlich das schlimmste was es gibt. Die Luftwechselrate ist sehr gering (sprich kaum Nutzen) dafür kühlst Du aber massiv die Bereiche rund um das gekippte Fenster herunter. Wenn Du das Fenster dann schließt (z.B. Abends) und die Wohnung nochmals aufheizt, wird sich zwangsläufig viel Tauwasser in dem Bereich des vormals gekippten Fenster bilden.
Fazit: In einer Kellerwohnung (auch einer halben) mit Einscheibenglas, bzw. einfachen Kellerfenstern, wirst Du das Problem niemals ganz weg bekommen. Du kannst es durch richtige Lüftung vermindern. Das Badezimmerfenster sollte der Vermieter austauschen.
Von Luftentfeuchtern sollte man bei solchen Wohnungen absehen, da zum einen evtl. die Raumluftfeuchte auf ein nicht gesundes Maß heruntergefahren wird und zum anderen die Dinger bei Langzeiteinsatz in der Lage sind, Feuchtigkeit durch Wand- und Deckenkonstruktionen zu "ziehen" (das ist jetzt so eigentlich nicht richtig, aber das jetzt auszuführen wird defintiv zu lange).
Alles ohne Gewähr, die ist keine Beratung und kann nicht auf jedes x-beliebige Objekt übertragen werden.